이미지를 이용하면 난해한 공식을 상당히 쉽게 외울 수 있다. 아래 사진들은 클릭 후 확대해서 보길 바란다. 가장 앞서 마스터해야 하는 것은 아래 그래프들의 모양을 통째로 외우는 것이다. 이 글은 어떻게 단순 암기를 피하고 '찰지게' 도함수들을 줄줄 외우느냐에 요지를 두고 있다.(손으로 직접 그리면 훨씬 좋으니 해보길 추천한다.)
<삼각함수>
- sin & cos, csc & sec, tan & cot : 서로 부호가 반대다. 짝을 기억하자. 또한 위의 그림에서 +인 것들의 위치를 기억한다.(sin, sec, tan)
- 모양을 기억한다. sin & cos는 포물선과 유사하게 뻗어올라간다. csc & sec는 기둥처럼 생겼고 가운데에 공간이 있다. tan & cot는 언덕처럼 생겼다.
- 도함수의 꼴을 기억한다. sin & cos는 1/√()꼴, csc & sec는 1/x√()꼴, tan & cot는 1/()꼴이다.(csc & sec는 항상 같은 부호이므로 x대신 |x|로 나타난다.)
<쌍곡선함수>
- sinh, cosh, tanh는 +, csch, sech, coth는 -이다.
- 모양을 기억한다. sinh는 tan과 유사한 언덕 모양이다. cosh는 반쪽 기둥 모양이다. tanh와 coth는 모양은 다르나 도함수 식이 똑같고 자동으로 부호가 뒤집히는 게 특징이다. csch는 csc처럼 밑으로 뻗지만 중간의 구간이 없고 y축에 근접한다. cosh처럼 sech도 두 축에 근접하는 특이한 모양인데, 식이 -1/x√(1-x^2)이라서 x=0, x=1에서 절댓값이 무한히 커지고 중간 구간에선 작아진다.
- 도함수의 꼴은 삼각함수의 경우와 같다. sinh, cosh는 1/√()꼴, tanh, coth는 1/()꼴, csch, sech는 1/x√()꼴이다.(csch는 csc처럼 x가 |x|로 나타나며, sech는 한쪽밖에 없어서 그냥 x로 나타난다. coth의 식은 tanh와 같고 자동으로 부호가 뒤집히므로 -를 붙이지 않는 것에 주의한다.)
위의 특징들은 함수의 그래프 모양에 관련되어 있고 직관적이어서 금방 암기할 수 있다. 보지 않고 직접 아래에 도함수들의 식을 써보겠다. 여러분도 직접 해보고 다 맞는지 확인해보라. 두세 번만 해도 금방 외울 수 있다. 그래프가 기억나지 않으면 슥슥 그리며 암기하라.
sin-1x'=1/√(1-x^2)
cos-1x'=-1/√(1-x^2)
csc-1x'=1/|x|√(x^2-1)
sec-1x'=-1/|x|√(x^2-1)
tan-1x'=1/(x^2+1)
cot-1x'=-1/(x^2+1)
sinh-1x'=1/√(x^2+1)
cosh-1x'=1/√(x^2-1)
csch-1x'=-1/|x|√(x^2+1)
sech-1x'= -1/x√(1-x^2)
tanh-1x'=1/(1-x^2)
coth-1x'=1/(1-x^2)]
솔직히 위의 공식들을 단순 암기로 외우는 일은 본인이 생각해도 필자는 절대 그런 걸 할 위인이 못 되고, 그래서 이런 방식을 시도하였다.(이미지 수학이라는 힌트를 준 도서 [메타생각]에 감사를 드린다.)
정리하면,
부호(+, -), 그래프 모양, 도함수의 꼴(1/√(), 1/x√(), 1/())
이렇게 외워주면 된다. 머릿속에 유기적인 관계가 입력되어 기억에 오래 남을 것이다.
괄호 친 예외적 특징들은 위의 세 개를 외우고 몇 번 연습하면 체득되므로 절대 여기에 집착하지 말라.
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