꼬인 교대급수(Alternating Series)

Alternating Series Test : 쉽게 말해 + -가 교차하는 수들은 그 수들이 0에 수렴하고 절대값이 커지지 않을 때 수들의 합이 특정 상수로 수렴한다는 법칙이다.

무한급수 Σ{(-1)^(n(n+1)/2)/(3^n)} 에 대하여
-1의 지수인 n(n+1)/2이 홀수인지 짝수인지 따져 부호를 확인하는 것이 중요하다. 그런데 이 값은 단순히 홀짝이 번갈아 나오지 않고 홀홀 짝짝 ... 과 같이 두번씩 덩어리져 나온다. 따라서 Alternating Series Test을 당장 엄밀하게 적용하기 어렵다.
이때 n이 증가하며 절대값이 단순히 1/3배씩 증가한다는 점을 고려하면 위의 무한급수의 항들을 두개씩 묶어서 생각해도 규칙적인 수열을 기대할 수 있다. 즉
a_n=1/(3^n) 일때 b_n=a_2n-1+a_2n 로 놓는다. 이때 b_n은 교대수열이며 a_n과 마찬가지로 등비가 1/3인 등비수열이다. 따라서 Σb_n은 A.S.T에 의해 수렴하며, 두 무한급수가 같으므로 Σa_n도 수렴한다.