적분과 통계-표본의 분포/표본평균의 분포

모집단에서 표본을 뽑았을 때

1. 그 표본의 분포

E(X)=x1+x2+...+xn

S^2(X)=1/(n-1)*∑{(xi-E(X))^2}

*분산에서 n-1로 나눈다.
*표본의 값들이 항상 정규분포를 나타내지는 않을 것이다.(무슨 말이냐면, 대표적 정규분포인 수능 성적을 예로 들면 표본을 뽑을 때 어쩌다보니 20점 받은 사람만 뽑혔다고 치자. 이 경우 당연히 표본은 정규분포가 아니다. n이 커져도 여전하다.) 따라서 보통 문제유형은 두가지다.

• 표본평균이 주어졌을 때 모평균 추정(☞2번)
• 모평균 추정시 공식 [X±k*σ/√n]에 모표준편차 σ 대신 표본표준편차 S 사용(단, n이 충분히 커야함)

2. 표본평균의 분포

한 표본을 뽑았을 때 그 평균을 'X바(X bar; X)'라고 하면 표본을 뽑을 때마다 X바는 달라진다.

그 분포를 나타내면

E(X)=m(m은 모평균)

V(X)=σ^2/n(σ는 모표준편차)
*n이 작아도 항상 성립
*모집단이 정규분포거나, 정규분포가 아니라도 n이 충분히 크면 X는 정규분포다.


위와 같이 통계에서 두 개념을 명확히 구분해야 한다. 헷갈리고 공식이 꼬일 수 있다.
예컨대 표본분산을 구할 때 n-1로 나누던 것이 생각나 표본평균 분산을 σ^2/(n-1)로 구할지도 모른다.