1. 도함수의 정의:
f'(x)=lim{(f(x+a)-f(a))/a}=d(f(x))/dx (a→0)
2. 부정적분의 정의:
∫f(x)dx=F(x)+C (F'(x)=f(x))
3. 정적분의 정의:
∫<a~b>f(x)dx=lim{ΔxΣ<k=1~n>f(a+Δx)}
(n→0, Δx=(b-a)/n, <>기호는 편의를 위해 임의로 사용했다.)
위를 이용해 미분과 적분의 관계를 증명하는 과정은 다음과 같다.
1. 어떤 원시함수와 도함수 F(x), f(x)가 있다고 하자.
2. 정적분 S<a~b>에서 b를 x로 놓고 Δx만큼 늘리면 S가 변화하는데, Δx→0일 때 그 값이 f(x)에 가까워진다.
즉, d(정적분<a~x>)/dx=f(x)이다.
3. 따라서 정적분<a~x>=F(x)+C이다.
4. 그런데 x=a일 때 위 등식은 0=F(a)+C이다. 따라서 C=-F(a)이며, 정적분<a~x>=F(x)-F(a)이다.
5. 위 등식에 x=b를 대입하면 정적분<a~b>=F(b)-F(a)이다.
2.의 증명:
x를 Δx만큼 증가시킬 때 Δx*m<ΔS<Δx*M (m,M은 x~x+Δx에서 f(x)의 최소, 최댓값이다.)
따라서 Δx→0일 때 양변이 f(x)로 가므로 ΔS도 f(x)로 간다. 따라서 극한값 dS/dx=f(x)이다.
원리만 간단히 요약하면, 정적분의 도함수가 곧 원시함수의 도함수이므로 정적분은 원시함수+상수이다.
이상을 정적분의 기본 정리라고 한다.
응용
1. 접선의 기울기는 y변화량/x변화량의 극한이다. 곧 도함수와 동일하다.
2. 함수 그래프 아래 또는 위의 넓이(+-고려)의 합이 곧 정적분이며, 곧 그 함수의 부정적분의 차와 같다. 그 차는 곧 부정적분 그래프에서의 높이차와 같다.
3. 변위는 시간*속도라는 것이 알려져있다. 곧 변위는 속도의 시간에 따른 정적분이다. 따라서 속도의 부정적분의 높이차는 곧 이 정적분이다.
이렇듯 엄밀한 증명을 통해 관계를 밝히고 나서야 응용이 가능함을 알 수 있다.
결론적으로 학습 및 이해의 순서를 다음과 같이 짜는 것이 합리적이라고 본다.
1. 미분과 적분의 실용적인 응용예를 통해 대략 개념을 파악한다. 이는 학습 동기를 마련한다.
2. 정의를 알고 관계를 증명한다. 이는 수학적 추론 과정에서 논리적으로 진행하기 위해 꼭 필요하다.
3. 위의 정의와 관계에 기반하여 문제상황을 해석하여 푼다.
※위 내용은 모두 교과서에 쓰여있다.
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