단순히 생각하면 제목과 같지만, 실제로는 일직선, 평면, 공간 개념을 도입해 그 근본적 성격을 파악할 수 있다. 예컨대 x, y, z를 구하고자 할 때 다음과 같은 방정식은 특수성을 가진다.
예1; x^2+(y-1)^2=0 -> x=0, y=1을 동시에 알 수 있다.
예2; z=0 -> x, y에 대한 관계는 전무하다.
방정식은 일반적으로 존재하는, 또는 이미 제한된 모든 변수의 값 중 식을 만족하는 값만을 허용한다. 즉 직육면체 대리석을 깎아내며 인체를 조각하듯 변수의 존재를 요구조건에 맞추어 제한하는 역할을 한다. 부등식도 구간을 이룬다는 점에서 다르지 방정식과 유사한 역할을 한다.
예를 들어 y=x+1의 그래프는 중학교에선 단순히 '직선의 방정식'으로 배우지만 학년이 올라가면서 '그래프'의 개념이 (x, f(x))의 집합으로 정립되고, y=x+1은 직선을 나타내는 식이라는 특수성을 버리고 y=f(x)라는 함수관계에 포함되어 설명된다. 기울기가 x의계수이며 y절편이 x항 뒤의 상수의 값이라는 것은 처음엔 거의 암기 수준으로 넘어가지만 차차 dy/dx, x=0 대입 등의 과정을 거치며 단지 그 함수의 성질의 파생에 불과하다는 점을 알게 된다. 그 다음엔 y=f(x), g(x)의 교점을 구하고, 차이를 구하고, 평균의 개략도를 그리는 등의 활동을 하며 결정적으로 교점의 개수와 연립방정식의 해의 개수의 관계를 배우며 그래프가 단순히 그림을 그리는 것이 아니라 변수의 관계를 나타내고 제한해 나가는 과정임을 알게 된다.
방정식의 대상인 변수를 공간적으로 생각할 때, 각각의 변수는 일직선에 대응된다. 변수가 하나일 땐 일직선, 둘일 땐 수직을 이루는 두 축이 만드는 평면, 셋일 땐 축을 하나 더 추가한 공간으로 정의역의 순서쌍 x, (x, y), 또는 (x, y, z)를 대응시킬 수 있다.
실제로, 특히 고등학교 수학에서부터는 시간이 지날수록 이러한 원리가 은연 중에 요구되는 경우가 많아진다. 왜냐하면 문제가 실생활 관련, 신유형 등 복잡화되고 단순 연산이 아닌 이해력을 측정하게 되기 때문이다.
그 대표적인 예가 바로 최대, 최소값 구하기이다. 다음 예제를 보자.
[x^2+y^2=1, 즉 (x, y)는 반지름 1의 원을 이룬다. 이때 x+2y의 최대 최솟값을 구하라.]
고등학교 최대최소 단원에서는 x+2y=k라 하고 방정식과 연립하여 해가 존재하는 구간을 알아내 k의 존재 범위를 결정하는 풀이를 이용한다. 단순히 외워서 풀기엔 한눈에 보기에도 중학교 수준의 문제보다 훨씬 난해하며, 왜 그렇게 푸는지 의문을 가질 수 밖에 없을 것이다. 물론 이해하지 못하면 나중에 풀이를 기억하지 못할 가능성이 크다.
이 문제에서는 x^2+y^2=1을 (x, y)를 제한하는 역할로 보았다. 그리고 x+2y=k와 연립한 것은 각각의 k값에 대응되는 (x, y)가 존재하는지 확인하기 위함이다. 방정식이 단순히 변수 사이의 관계를 넘어 변수의 제한 역할을 하는 것이다.
수많은 문제에서 방정식이 상황을 해결할 수 있는지 판정할 때에도 이것이 유용하다. 머릿속으로 변수의 정의역을 상상하며 현재 가지고 있는 방정식을 이용해 마치 사과를 베어내듯 부분을 제거해가며 원하는 목표에 도달할 수 있는지 직관적으로 살펴보는 것이다.
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