머릿속으로 그래프 그리기

수학 문제는 보통 말로 풀어쓰면 도대체 뭔 소린지 알아보기조차 힘들다. 하지만 대부분의 경우 머릿속에 그림을 그리면 매우 직관적으로 다가온다.
예1 : x^2+y^2=k, , y=x+k의 해가 존재하도록 하는 k의 범위를 구하여라.
겉으로 보이는 문자로만 접근하면 y를 소거한 후 판별식을 이용하면 되는 문제이다. 그러나 아래와 같이 이미지를 상상하면 문제의 양상이 훨씬 쉽게 느껴진다.

일단 k는 양수이고, 0부터 증가시키면 위와 같이 초반엔 원의 반지름이 √k이므로 직선의 이동거리 k보다 빠르다. 이후 √k의 증가가 둔화되며 교점이 0개가 된다.

직선이 원의 중심에 가장 근접하는 지점은 대각선 방향인데, 그 거리가 k/√2이고 원의 반지름이 √k 이므로 k값에 따른 두 값의 대소를 비교해야 한다. 첫 그림에서는 이 과정을 생략하였고, 위의 두 번째 그림에서 그 대소관계를 좀더 명확히 생각할 수 있다. √k는 k가 작을 때 증가 속도가 매우 큰 반면, k/√2의 증가 속도는 항상 1/√2이므로 대소가 교차한다. 또한 두 값이 같을 때는 원과 직선이 한 점에서 접하는 상황이라고 볼 수 있다.

이렇게 문제의 양상을 상상하면 단순히 연립방정식으로 푸는 것보다 훨씬 의미가 와닿는다.